本節(jié)主要講解排列組合中常見的使用特殊方法的綜合題型。這類題如果采用枚舉的方法,一步一步計算,思維復雜且計算量大;而一旦采用這一類標配特殊解法,不僅思路清晰,而且計算簡便,對于解題效率來說無疑是一柄利器!
1,特殊優(yōu)先原則
有一類題型,題設中某些元素的約束條件較多,屬于特殊元素,為避免排序時重復性地刪減去重,對特殊元素進行特別關照,即“特殊元素,優(yōu)先處理,特殊位置,優(yōu)先考慮”。
【例題1】
8人排成前后兩排,每排4人,其中甲、乙在前排,丙在后排,共有多少排法?
【解析】
題干中甲、乙、丙屬于特殊元素,優(yōu)先處理。
先把甲、乙排在前排,共有種可能的選擇;再把丙排在后排,共有種可能的選擇;最后其他人的位置沒有特殊要求,共有種排列。故總共有種排法。
2,捆綁插空型
捆綁型:
排列時如果遇到要求幾個元素相鄰,則將它們捆綁起來當作1個元素,再與其他元素一起排列,并考慮捆綁元素內(nèi)部的排列,此種方法稱為“捆綁法”。
【例題2】
記者要為5名志愿都和他們幫助的2位老人拍照,要求排成一排,2位老人相鄰但不排在兩端,不同的排法共有( )種。
A.1440B.960C.720D.480
【解析】
首先2位老人要求相鄰,則把2位老人捆綁為一組,內(nèi)部可以排序,共有2種排列;然后把5人加這組排序,共有種排列;再剔除2位老人排在兩端的排列,有種排列,所以最終的結果是種,故答案選B。
插空型:
排列時如果遇到要求幾個元素不能相鄰,則先把其他元素進行排列后,再把不能相鄰的元素插入其他元素排列的空隙中去,此種方法稱為“插空法”。
【例題3】
馬路上有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路燈,現(xiàn)要關掉其中的3盞,但不能關掉相鄰的2盞,也不能關掉兩端的2盞,求滿足條件的關燈方法有多少種?
【解析】
此題從正面入手分類較多,比較麻煩;可以考慮為,在6盞排成一列的亮的燈的空隙中,插入3盞不亮的燈,就滿足要求了,空隙共有5個,則滿足條件的方法共有種。
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