在2011年公務(wù)員行測(cè)考試中,出現(xiàn)了一道立體幾何問題,且最近兩年的國(guó)家公務(wù)員考試中,對(duì)立體幾何問題均有考查,因此掌握立體幾何相關(guān)知識(shí)對(duì)于備考是非常重要的。因?yàn)椋瑸榱朔阑加谖慈?,山東公務(wù)員考試網(wǎng)專家在此為考生講解立體幾何問題。
一、立體圖形的表面積和體積
例題1:一個(gè)長(zhǎng)方體模型,所有棱長(zhǎng)之和為72,長(zhǎng)、寬、高的比是4∶3∶2,則體積是多少?
?。粒?2 B.192 C.128 D.96
解析:此題答案為B。所有棱長(zhǎng)(長(zhǎng)、寬、高各4條)之和為72,即長(zhǎng)+寬+高=72÷4=18,已知長(zhǎng)、寬、高的比是4∶3∶2,所以長(zhǎng)為8、寬為6、高為4,體積=8×6×4=192。
例題2:一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的盒子長(zhǎng)、寬、高分別為20厘米、8厘米和2厘米,現(xiàn)在要用一張紙將其六個(gè)面完全包裹起來(lái),要求從紙上剪下的部分不得用作貼補(bǔ),請(qǐng)問這張紙的大小可能是下列哪一個(gè)?
A.長(zhǎng)25厘米、寬17厘米 B.長(zhǎng)26厘米、寬14厘米
C.長(zhǎng)24厘米、寬21厘米 D.長(zhǎng)24厘米、寬14厘米
解析:此題答案為C。該長(zhǎng)方體的表面積為2×(20×8+20×2+8×2)=432平方厘米,這張紙的面積一定要大于長(zhǎng)方體的表面積,選項(xiàng)中只有C項(xiàng)符合。如圖所示,實(shí)線部分可折疊得到題中盒子,說(shuō)明這張紙能將這個(gè)盒子完全包裹起來(lái)。
二、立體圖形的切割和拼接問題
考試中題目出現(xiàn)的求切割和拼接后的面積、表面積和體積變化問題,遵循以下原則: 立體圖形切割,則總表面積增加了截面面積的2倍;拼接則總表面積減小了截面面積的2倍。
例題:將一個(gè)表面積為36平方米的正方體等分成兩個(gè)長(zhǎng)方體,再將這兩個(gè)長(zhǎng)方體拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體,則大長(zhǎng)方體的表面積是:
A.24平方米 B.30平方米 C.36平方米 D.42平方米
解析:此題答案為D。正方體每個(gè)面的面積為36÷6=6平方米。
將正方體平分以后,表面積增加6×2=12平方米;拼成大長(zhǎng)方體后,表面積減少2×(6÷2)=6平方米,因此大長(zhǎng)方體的表面積為36+12-6=42平方米。
快速突破:在切割和拼接過(guò)程中,體積不變。根據(jù)體積一定,越趨近于球,表面積越小,可知大長(zhǎng)方體的表面積大于36平方米,只有D項(xiàng)符合。
三、物體浸水問題
物體浸入水中,水面會(huì)上升,水的總體積不變,因此水的變化高度=浸沒體積÷容器底面積(行測(cè)考試中容器一般為規(guī)則立體圖形)即物體浸入前后,水的體積變化等于該物體浸入水中的體積。
例題:現(xiàn)有邊長(zhǎng)1米的一個(gè)木質(zhì)正方體,已知將其放入水里,將有0.6米浸入水中。如果將其分割成邊長(zhǎng)0.25米的小正方體,并將所有的小正方體都放入水中,直接和水接觸的表面積總量為:
A.3.4平方米 B.9.6平方米 C.13.6平方米 D.16平方米
解析:此題答案為C。邊長(zhǎng)為1米的正方體可以分割成1÷(0.25)3=64個(gè)邊長(zhǎng)為0.25米的小正方體。
如果把邊長(zhǎng)1米的木質(zhì)正方體放入水里,與水直接接觸的表面積為1×1+0.6×1×4=3.4平方米。
由于小立方體浸入水中的總體積與正方體相同,所以每個(gè)小正方體浸入水中的比例與立方體相同。因?yàn)樾≌襟w的邊長(zhǎng)是正方體的1/4,所以其與水直接接觸的面積是大正方體的1/16,其總共與水直接接觸的總面積為64×3.4×1/16=3.4×4=13.6平方米。
四、立方體染色問題
假設(shè)將一個(gè)立方體切割成邊長(zhǎng)為原來(lái)的1 / n的小立方體,在表面染色,則
?。?)三個(gè)面被染色的是8個(gè)頂角的小立方體;
?。?)兩個(gè)面被染色的是12(n-2)個(gè)在棱上的小正方體;
?。?)只有一個(gè)面被染色的是6(n-2)2個(gè)位于外表面中央的小正方體。
?。?)都沒被染色的是(n-2)3個(gè)不在表面的小立方體。
例題:一個(gè)邊長(zhǎng)為8的正立方體,由若干個(gè)邊長(zhǎng)為1的正立方體組成,現(xiàn)在要將大立方體表面涂漆,請(qǐng)問一共有多少個(gè)小立方體被涂上了顏色?
A.296 B.324 C.328 D.384
解析:此題答案為A。邊長(zhǎng)為8的正立方體共有8×8×8=512個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正立方體,不在表面的小正立方體共有6×6×6=216個(gè),所以被染色的小正方體的個(gè)數(shù)為512-216=296。
五、異面直線所成角
行測(cè)更多解題思路和解題技巧,可參看2012年公務(wù)員考試技巧手冊(cè)。