對(duì)于容斥原理類的題目,近年來在公務(wù)員行政職業(yè)能力測(cè)驗(yàn)中考的不少??v觀歷年真題,我們可以發(fā)現(xiàn):2006年國(guó)家公務(wù)員考試考了一道三集合圖示標(biāo)數(shù)型;2007年國(guó)家公務(wù)員考試考了兩道兩集合型題目;2009年國(guó)家公務(wù)員考試考了一道三集合的題目,可以直接套用三集合標(biāo)準(zhǔn)型核心公式;2010年和2011年國(guó)家公務(wù)員考試連續(xù)兩年考了三集合整體重復(fù)型。因此,熟練掌握三集合整體重復(fù)型公式成為了做題關(guān)鍵。
一、介紹三集合整體重復(fù)型核心公式
在三集合題型中,假設(shè)滿足三個(gè)條件的元素?cái)?shù)量分別是A、B和C,而至少滿足三個(gè)條件之一的元素的總量為W。其中,滿足一個(gè)條件的元素?cái)?shù)量為x,滿足兩個(gè)條件的元素?cái)?shù)量為y,滿足三個(gè)條件的元素?cái)?shù)量為z,根據(jù)下圖可以得到以下兩個(gè)等式:
W=x+y+z
A+B+C=x×1+y×2+z×3
二、典型的三集合整體重復(fù)型的題目講解
例1、某班有35個(gè)學(xué)生,每個(gè)學(xué)生至少參加英語小組、語文小組、數(shù)學(xué)小組中的一個(gè)課外活動(dòng)?,F(xiàn)已知參加英語小組的有17人,參加語文小組的有30人,參加數(shù)學(xué)小組的有13人。如果有5個(gè)學(xué)生三個(gè)小組全參加了,問有多少個(gè)學(xué)生只參加了一個(gè)小組?(2004年浙江公務(wù)員考試行測(cè)第20題)
A. 15人 B.16人 C.17人 D.18人
【答案】A 解析:此題有兩種解法可以解出:
解一:如圖,分別設(shè)只參加英語和語文、英語和數(shù)學(xué)、語文和數(shù)學(xué)小組的人為x、y、z,則只參加英語小組的人為17-5-x-y,只參加語文小組的人有30-5-x-z,只參加數(shù)學(xué)小組的人有13-5-y-z,則只參加三個(gè)小組中的一個(gè)小組的人和只參加其中兩個(gè)小組的人和三個(gè)小組都參加的人的總和為總?cè)藬?shù),即17-5-x-y+30-5-x-z+13-5-y-z+x+y+z+5=35。則求x+y+z=15,所以只參加一個(gè)小組的人數(shù)的和為15。
解二:套用三集合整體重復(fù)型公式:
W=x+y+z
A+B+C=x×1+y×2+z×3
35=x+y+5
17+30+13=x×1+y×2+5×3
解得:x= 15,y=15
例2、某調(diào)查公司就甲、乙、丙三部電影的收看情況向125人進(jìn)行調(diào)查,有89人看過甲片,有47人看過乙片,有63人看過丙片,其中有24人三部電影全看過,20人一部也沒有看過,則只看過其中兩部電影的人數(shù)是( )(2009年江蘇公務(wù)員考試行測(cè)A類試卷第19題)
A. 69 B.65 C.57 D.46
【答案】D 解析:本題也是一道典型的三集合整體重復(fù)型題目,直接套用三集合整體重復(fù)型公式:
W=x+y+z
A+B+C=x×1+y×2+z×3
這里需要注意的是W=105,而非125,
105=x+y+24
89+47+63=x×1+y×2+24×3
兩個(gè)方程,兩個(gè)未知數(shù),解出y=46,這里y表示只看過兩部電影的人數(shù),即所求。
例3、某高校對(duì)一些學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查。在接受調(diào)查的學(xué)生中,準(zhǔn)備參加注冊(cè)會(huì)計(jì)師考試的有63人,準(zhǔn)備參加英語六級(jí)考試的有89人,準(zhǔn)備參加計(jì)算機(jī)考試的有47人,三種考試都準(zhǔn)備參加的有24人,準(zhǔn)備選擇兩種考試參加的有46人,不參加其中任何一種考試的有15人。問接受調(diào)查的學(xué)生共有多少人?(2010年國(guó)家公務(wù)員考試行測(cè)第47題)
A. 120 B.144 C.177 D.192
【答案】A 解析:本題的特征也很明顯,直接套用公式,只是要注意的是,題目中最后問的是接受調(diào)查的總?cè)藬?shù),我們求出W之后,還需要再加上不參加其中任何一種考試的那15個(gè)人,
W=x+46+24
63+89+47=x×1+46×2+24×3
通過解方程,可以求出W=105,這只是至少準(zhǔn)備參加一種考試的人數(shù),所以接受調(diào)查的總?cè)藬?shù)為105+15=120。
例4、某市對(duì)52種建筑防水卷材產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量抽檢,其中有8種產(chǎn)品的低溫柔度不合格,10種產(chǎn)品的可溶物含量不達(dá)標(biāo),9種產(chǎn)品的接縫剪切性能不合格,同時(shí)兩項(xiàng)不合格的有7種,有1種產(chǎn)品這三項(xiàng)都不合格,則三項(xiàng)全部合格的建筑防水卷材產(chǎn)品有多少種?(2011年國(guó)家公務(wù)員考試行測(cè)試卷第74題)
A. 37 B.36 C.35 D.34
【答案】D 解析:本題屬于典型的三集合整體重復(fù),直接套用公式:
W=x+7+1
8+10+9=x×1+7×2+1×3
可以解除W=18,所以至少有一項(xiàng)不合格的有18種,則三項(xiàng)全部合格的建筑防水卷材產(chǎn)品有52-18=34。
在三集合整體重復(fù)型的題目中,我們需要辨認(rèn)A、B、C,x、y、z具體指代什么,特別是需要搞清W是哪個(gè)量,這里再強(qiáng)調(diào)一遍,至少滿足三個(gè)條件之一的元素的總量為W,而并非題目總量即為W,只要掌握這一點(diǎn),這類題目即可迎刃而解。